A logika célja az, hogy érveléseinkben megőrizzük az igazságot. Egyfajta érvelésmód érvényességének bizonyos feltételei vannak. Az arisztotelészi hagyományos logika a formai dolgokra (szavakra, pl. „egy”, „egy sem”, „mind”, „némelyik”) épül. A modern logika ezt kiterjesztette az „és”, „vagy”, „nem” szavakra. Ezeket a szavakat állításon belüli calculusnak nevezzük, mert a mondaton, állításon belül szerepelnek. Az állításon belüli calculus neve állítmánycalculus. Az „és”, „vagy” és „nem igaz” szavak a mondatok egymáshoz fűzési módjával operáló állításcalculusok.

Rengeteg kicsi, önálló rendszer van az élet területein; a „lehetséges”, „valószínű”, „biztos” szavakra épülő logikai rendszerek is vannak. A színeknek is van külön logikai rendszere, pl. sárga + kék = zöld. Pusztán az állítás-és állítmánycalculus nem képes az élet minden területét lefedni.

Ez a formai rendszer független attól, hogy a tételek igazak-e. Attól, hogy valaki hamis állításokból indul ki, nem biztos, hogy az eredmény is hamis lesz. Lehet, hogy a kiinduló állítások tévesek, és az érvelés mégis jó.

Ha igazak a kiinduló érvek, a végkövetkeztetés pedig érvényes, akkor a végeredmény helyes lesz. A logika csupán ezt képes biztosítani.

Az igazságtételeket meg kell vizsgálni, mert lehet, hogy a kiinduló tételek nem igazak, de a végeredmény attól még lehet jó.

Az állításcalculus négy mondatgeneráló igazságoperátorral, vagyis az „és”, „vagy”, „nem” és „ha” szavakkal összefüggő mondatokkal foglalkozik. Az állításokat nagy betűkkel jelöljük, a mondatgeneráló igazságoperátorok jelei:

ÉS: &

VAGY: v

NEM: ~

HA: →

CSAK HA (CSAK AKKOR, HA / AKKOR ÉS CSAK AKKOR, HA): ↔

A konklúzió jele: ||→

Példa:

Pista jól vizsgázott.

Ha Pista jól vizsgázik, akkor boldog.

Tehát Pista boldog.

P: Pista jól vizsgázott.

Q: Pista boldog.

Ha P, akkor Q, vagyis:

P, P → Q, ||→ Q

Írjuk le a következő mondatot jelekkel!

Pista szorgalmas lesz, és majd jelesre fog vizsgázni, vagy elmegy dolgozni.

P: Pista szorgalmas lesz.

Q: Pista jelesre fog vizsgázni.

R: Pista elmegy dolgozni.

(P & Q) v R

A zárójel azért kell, hogy világossá tegyük, mit akartunk mondani. Ezzel kizárjuk a nem megfelelő értelmezési lehetőségeket.

Másik példa:

Otthon leszek négyre, és hozok a kertből gyümölcsöt, de csak akkor, ha nem esik.

P: Otthon leszek 4-re.

Q: Hozok a kertből gyümölcsöt.

R: Esik.

(P & Q) ↔ ~ R

Pista vett narancsot, meg almát, meg banánt.

P: Pista vett narancsot.

Q: Pista vett almát.

R: Pista vett banánt.

P & Q & R

Ezt nem kell zárójelezni, de ha akarjuk, kétféleképpen is zárójelbe tehetjük: (P & Q) & R, valamint P & (Q & R).

Pista elvette Máriát, noha a lány természete elég nehézkes.

Ennél a mondatnál a mondat igazságkörülményeit tekintetbe véve a „noha” kötőszó megfelel az „és”-nek. A „de”, „ámbár”, „ámbátor” szavak is egyenértékűek az „és”-sel, valamint a „meg” mondatkötő szó is.

P: Pista elvette Máriát.

Q: Mária természete elég nehézkes.

	P	Q	P noha Q
1.	+	+	+
2.	+	–	–
3.	–	+	–
4.	–	–	–

Nézzünk egy újabb példát!

A cikknek még nincs vége, a folytatáshoz kattints az oldalszámokra!