Ha esik az eső, akkor nem száraz az utca. Nem igaz, hogy nem száraz az utca, tehát esik.

P: Esik.

Q: Száraz az utca.

P → ~ Q, ~ ~ Q → P

Érvényességi tábla:

	P	Q	P → ~ Q	~ ~ Q	→P
1.	+	+	–	+	+
2.	+	–	+	–	+
3.	–	+	+	+	–
4.	–	–	+	–	–
			1. premissza	2. premissza	végkövetkeztetés

Nézzünk példát egy bonyolultabb, de érvényes érvelésre!

A logika vagy túl unalmas, vagy túl nehéz. Mert vagy a filozófia egyik ága, vagy a matematikáé. És csak akkor nem túl nehéz, ha nem a matematika egyik ága. Csak ha túl unalmas, akkor ága a filozófiának.

P: A logika unalmas.

Q: A logika túl nehéz.

R: A logika a filozófia egyik ága.

S: A logika a matematika egyik ága.

Mi itt a végkövetkeztetés? Az első mondat: A logika vagy túl unalmas, vagy túl nehéz. A mondatban szerepel a CSAK AKKOR feltétel, a HA a következmény. „Csak akkor nem túl nehéz, ha nem a matematika egyik ága.” = „Ha nem túl nehéz, nem a matematika egyik ága.” Ugyanígy: „Csak ha túl unalmas, akkor ága a filozófiának.” = „Ha a filozófiának ága, akkor túl unalmas.”

R v S, ~ Q → ~ S, R → P ↔ P v Q

	P	Q	R	S	R v S	~ Q → ~ S	R → P	↔ P v Q
1.	+	+	+	+	+	+	+	+
2.	+	+	+	–	+	+	+	+
3.	+	+	–	+	+	+	+	+
4.	+	+	–	–	–	+	+	+
5.	+	–	+	+	+	–	+	+
6.	+	–	+	–	+	+	+	+
7.	+	–	–	+	+	–	+	+
8.	+	–	–	–	–	+	+	+
9.	–	+	+	+	+	+	–	+
10.	–	+	+	–	+	+	–	+
11.	–	+	–	+	+	+	+	+
12.	–	+	–	–	–	+	+	+
13.	–	–	+	+	+	–	–	–
14.	–	–	+	–	+	+	–	–
15.	–	–	–	+	+	–	+	–
16.	–	–	–	–	–	+	+	–

Nézzünk meg egy olyan mondatot, ahol több állítás van együtt!

Ha van tapasztalati mód az abszolút nyugalom és az abszolút mozgás megkülönböztetésére, akkor Newton joggal vélte, hogy nemcsak viszonylagos tér van, hanem abszolút tér is. Ugyanakkor, ha van abszolút tér, akkor tényleg van különbség az abszolút nyugalom és az abszolút mozgás között, akár megkülönböztethetők tapasztalatilag, akár nem. Így hát vannak, akik úgy érvelnek, hogy a valóságban nem lehet különbség az abszolút nyugalom és az abszolút mozgás között, ha tapasztalatilag nem különböztethetők meg. Akkor és csak akkor van abszolút tér, ha van mód az abszolút nyugalom és az abszolút mozgás tapasztalati megkülönböztetésére.

Mi a konklúzió?

Akkor és csak akkor van abszolút tér, ha van mód az abszolút nyugalom és az abszolút mozgás megkülönböztetésére.

Mik az állítások:

P: Van tapasztalati mód az abszolút nyugalom és az abszolút mozgás megkülönböztetésére.

Q: Van viszonylagos tér.

R: Van abszolút tér.

S: Van különbség az abszolút nyugalom és az abszolút mozgás között.

Azt a részt, hogy „akkor Newton joggal vélte…” kihagyjuk, mert semmi köze az érveléshez.

1. premissza: P → (Q & R)
2. premissza: R → ( (P → S) & (~P → S) )

A kettős zárójelben levő kifejezés egyenértékű azzal, mintha azt írnánk: (P v ~ P) → S

„Akár megkülönböztethetők tapasztalatilag, akár nem” : akkor is, ha igen, és akkor is, ha nem. Vagyis akár P, akár ~P, akkor is S. Minden körülmények között S, tehát az egész kifejezés egyenértékű S-sel. Nem változtat az S értékén, ezért ki lehet hagyni, és le lehet egyszerűsíteni így: R → S

3. premissza: ~P → ~S

Konklúzió: R ↔ P

Valójában (P →R) & (R → P), de ezt a kifejezést ilyen módon is felírhatjuk: R ↔ P. És a nyelvben ezt az AKKOR ÉS CSAK AKKOR jelöli.

P → (Q & R), R → S, ~P → ~S  ||→ R ↔ P

Érvényességi táblájának 16 sora lesz.

	P	Q	R	S	P →	(Q & R)	R → S	~P	→	~S	||→ R ↔ P
1.	+	+	+	+	+	+	+	–	+	–	+
2.	+	+	+	–	+	+	–	–	+	+	+
3.	+	+	–	+	–	–	+	–	+	–	–
4.	+	+	–	–	–	–	+	–	+	+	–
5.	+	–	+	+	–	–	+	–	+	–	+
6.	+	–	+	–	–	–	–	–	+	+	+
7.	+	–	–	+	–	–	+	–	+	–	–
8.	+	–	–	–	–	–	+	–	+	+	–
9.	–	+	+	+	+	+	+	+	–	–	–
10.	–	+	+	–	+	+	–	+	+	+	–
11.	–	+	–	+	+	–	+	+	–	–	+
12.	–	+	–	–	+	–	+	+	+	+	+
13.	–	–	+	+	+	–	+	+	–	–	–
14.	–	–	+	–	+	–	–	+	+	+	–
15.	–	–	–	+	+	–	+	+	–	–	+
16.	–	–	–	–	+	–	+	+	+	+	+

R ↔ P: akkor és csak akkor R, ha P. Ha mindkét állítás igaz, vagy ha mindkét állítás hamis, akkor igaz. Ha minden premissza igaz, akkor a konklúziók is igazak, ezért az állítás érvényes.

Felfogható az érvelés úgy is, hogy nemcsak a 4. mondat a konklúzió, hanem a 3. és 4. mondat. Ugyanaz az érvényességi tábla lesz, de a következtetés nem lesz érvényes. Ezért jobb ezen a módon felfogni az érvelést. Ha bizonyos esetekben igaz, bizonyos esetekben hamis, akkor ez egy kontingens kifejezés.

Ha vannak premisszáink, azokból levonhatunk következtetéseket, vagy bebizonyíthatjuk, hogy bizonyos következtetések valóban következnek belőlük. Felállítunk természetes következtetési szabályokat. Az igazságfüggő logikai operátoroknak vagy mondatkötő szóknak, úgy mint ÉS, VAGY, NEM IGAZ, HA a bevezetési és eltávolítási szabályairól van szó.

A cikknek még nincs vége, a folytatáshoz kattints az oldalszámokra!