Természetes következtetési szabályok:

1. &B

ÉS bevezetési szabály: ha van két állításunk, akkor azok összeköthetők.

1. premissza: P
2. premissza: Q
3. premissza: P & Q

2. &E

ÉS eltávolítási szabály: ha van egy olyan állításunk, hogy P & Q, abból következtethetünk arra is, hogy P, és arra is, hogy Q.

1. premissza: P&Q
2. premissza: P
3. premissza: Q

3. ~E

Tagadás eltávolítási szabály: nem igaz, hogy nem P állításból arra következtethetünk, hogy P.

1. premissza: ~ ~ P
2. premissza: P

A 2. sorban levő premissza, az 1. sorban levő premisszán nyugszik. A 2. sorban megkapjuk a P-t.

4. ~B

Tagadás bevezetési szabály: ha bizonyos premisszákból arra a következtetésre jutunk, hogy P&~P, akkor azt a premisszát, amin ez nyugszik, tagadhatjuk. Ad abszurdum bizonyítási mód.

Pl. ha Q premisszából arra a következtetésre jutunk, hogy P&~P, akkor abból levonhatjuk azt, hogy ~Q.

1. premissza: ~P & Q
2. premissza: P
3. sor: ~P
4. sor: P & ~P
5. sor: ~(~P&Q)

A 3. sorban levő ~P eredmény az 1. premisszán nyugszik.

A 4. sorban levő kifejezés az 1. és a 2. premisszán nyugszik, mert a 3. sor az 1. soron nyugszik, mint premisszán.

Az 5. sorban levő kifejezés a 2. premisszán nyugszik, mert az elsőt elvetettük éppen ezzel, hogy a másodikat elfogadtuk.

Az 1. sorra az &E szabályt kell alkalmazni.

A 2-3. sorra az &B szabályt.

Az 1. és 4. sorra a ~B szabályt.

5. → B

HA bevezetési szabály: ha egy premisszából le tudunk vezetni egy másik következtetést, akkor azt, amit levezettünk, a HA segítségével össze tudjuk kötni azzal, amiből levezettük.

P → Q, Q → R  |||→   P → R

1. premissza: P → Q
2. premissza: Q → R
3. premissza: P
4. sor: Q (1. és 3. premisszán nyugszik)
5. sor: R (1, 2, 3. premisszán nyugszik)
6. sor: P → R (1, 2, 3. premisszán nyugszik)

Az 1. és 3. sorra a →E szabályt kell alkalmazni.

A 2. és 4. sorra szintén a →E szabályt kell alkalmazni.

A 3. és 5. sorra a →B szabályt kell alkalmazni.

6. →E

HA eltávolítási szabály: ha van egy olyan állításunk, hogy P → Q, és egy olyan, hogy P, abból nyugodtan következtethetünk arra, hogy Q.

P → Q,   P  ||→  Q

P → Q ~Q  ||→  ~P

1. premissza: P → Q
2. premissza: ~Q
3. premissza: P   

(feltesszük, hogy P. Felveszünk egy olyan premisszát, ami eredetileg nem volt ott)

4. sor: Q  (1. és 3. premisszán nyugszik)
5. sor: Q & ~ Q (1, 2, 3. premisszán nyugszik)
6. sor: ~P  (1. és 2. premisszán nyugszik)

Az 1. és 3. sorra a →E szabályt kell alkalmazni.

A 2. és 4. sorra az &B szabályt.

A 3. és 5. sorra a ~B szabályt.

7. vB

VAGY bevezetési szabály: ha van egy állításunk, bármit hozzáfűzhetünk (pl. Vagy esik az eső, vagy háború van.)

1. premissza: P
2. sor: P v Q   (1. premisszán nyugszik)

Az 1. sorra a vB szabályt kell alkalmazni.

8. vE

VAGY eltávolítási szabály, pl. Ha valaki sokat iszik, vagy sokat dohányzik, valószínűleg alacsonyabb kort ér el az átlagéletkornál.

(P v Q) → R

A fenti sor átalakítható így: (P → R) v (Q → R)

1. premissza: (P v Q) → R
2. premissza: P v Q
3. sor: R (1. és 2. premisszán nyugszik).

Az 1. és 2. sorra a →E szabályt kell alkalmazni.